100년의 난제 : 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을까?
필즈상을 거부하고 은둔한 기이한 천재 수학자 이야기 - 8점

가스가 마사히토 지음, 이수경 옮김, 조도상 감수/살림Math


                                                                    Daum 책 상세보기

작성일자 : 2009-10-20 18:47
yes24에 올렸던 서평

수학 그 자체보다는 그 안에 숨어 있는 이야기다.
사이먼 싱의 <페르마의 마지막 정리>와도 유사한 구성이다. TV 다큐멘터리로 제작된 내용이라는 점도 유사한 점이다. 다른 점이 있다면, 이 책은 수학자들 인터뷰 내용이 중심이라서 마치 다큐멘터리를 보는 듯 하다. 차라리 다큐멘터리를 한 번 보고 싶어졌다.

푸앵카레 추측은 '페르마의 마지막 정리'보다는 유명하지 않지만, 이 책을 통해서 대략적인 흐름만은 알 수 있었다. 어려운 내용들을 비교적 쉽게 설명하고 있어서, 부담없이 읽을 수 있었다. 한편으로는 많은 이야기를 하지 않아서 아쉬운 부분도 없지 않았다.

페렐만이 "나는 아무것도 일어나지 않을 경우도 각오하고 있다."라고 한 말이 자꾸 기억에 남는다. 우리 모두 살아가면서 어려운 문제에 수없이 부딪히는데, 그것을 해결하겠다는 의지와 실패할 것을 각오하는 용기라는 것이 어려운 듯 하다.

한 가지 불만은 책 뒤에 색인 페이지가 없다는 것이었다. 읽다 보면 앞의 내용을 다시 보고 싶은데 말이다.
이 책을 보고나서, 도널 오셔의 <푸앵카레의 추측>을 한 번 읽어볼까 한다.

덧붙임) 다큐멘터리는 구글에서 찾아보면 많이 나온다.

[참고URL]
wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_conjecture
Wolfram Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html
YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=TzMZKiCgEVE
  1. 찬유 2010.03.24 23:39 신고

    페르마의 마지막 정리는 4~5년전 쯤에 읽었던 기억이 나요.
    그 때는 수학이 너무 재미있어서 단숨에 쭉쭉 읽어나갔었는데 말이죠 ^^
    이 책이 그 책과 비슷한 정도의 수준이리면 한 번 읽어보아야 겠네요

Problem 15 : Starting in the top left corner in a 20 by 20 grid, how many routes are there to the bottom right corner (without backtracking)?

예시) 2 by 2 grid


시작점에서 끝점까지의 모든 경로는 가로 변과 세로 변으로 구성된다.
그리고, 모든 경로에서 경로의 길이는 같으며, 그 경로를 구성하는 가로 변 길이의 합과 세로 변 길이의 합은 서로 같다.
그럼, 각 점에서 오른쪽 방향(가로), 아래 방향(세로) 두 가지 방향을 선택하는 문제로 볼 수 있다. 결국, 이 문제는 정사각형이 주어졌을 때, 전체 경로 (= 가로의 경로 개수 + 세로의 경로 개수) 중에서 가로 개수와 세로 개수가 같은 경우가 몇 가지인지를 찾아내는 문제로 생각할 수 있다.

n by n 정사각형일 때 시작점에서 마지막점까지 가려면, 가로 n번, 세로 n번을 가야 한다.
따라서, 2n 개 중에서 가로 n개, 세로 n개를 선택하는 문제가 된다.

** 이 문제에 예시로 나오는 그림을 시계방향으로 45도 돌려서 보면,
파스칼의 삼각형(Pascal's triangle in wikipedia)의 한 부분이 떠오를 것이다.

n <- 20
choose(2*n, n)

프로젝트 오일러 다시 도전...
어려운 문제에 도전했다가 잘 안 풀려서, 쉬워 보이는 문제부터 풀었다.

Problem 20 : Find the sum of digits in 100!

이 문제를 푸는 알고리듬은 간단한데, R에서 문제는 자릿수가 커지면 근사치로 계산되고 유효숫자로 표현된다는 것이다.
그래서, 자릿수를 유지하면서 정확한 수치로 계산되도록 했다.
숫자를 텍스트 배열로 변환해서 푸는 방법도 있을 것 같았으나, 10진법 개념을 그대로 활용해서 풀었다.
문제를 풀고 난 후에, 다른 사람들이 공유한 코드를 보니, 간단하게 서너 줄로 작성한 다른언어 코드도 보였다.


위(위 밑줄친 부분)에서는 자릿수를 구하기 위해 log 연산의 기본 특징을 사용했는데, 일반화시키면 아래와 같다. 

비슷한 문제로 아래 16번 문제도 있었다.

Problem 16 : What is the sum of the digits of the number 21000?



아래는 Python코드다. 위의 R보다는 훨씬 편하고, 처리속도도 빠르다.

  1. wizArD 2009.01.14 23:02

    블로그 다시 시작했냐. 수학은 왜 공부해? 알고리즘 만들어?

    • unknown linker 2009.01.16 10:48 신고

      블로그는 자주는 아니더라도, 꾸준히 계속 하려고요.
      수학공부는 요즘 머리가 굳는 것 같아서... -_-;;

수학 / R 언어 공부와 함께 프로젝트 오일러 Start ~!

Problem 1 : Add all the natural numbers below one thousand that are multiples of 3 or 5.

If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.
Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.

이 문제는 펜과 종이만 있어도 금방 풀 수 있다.


  1. ㅁㅁ 2008.11.04 03:04

    1번풀고 중단하신 건지요...

Euclid's window : the story of geometry from parallel lines to hyperspace

유클리드의 창 - 10점
레오나르드 믈로디노프 지음, 전대호 옮김/까치글방

                                          Daum 책 상세보기>

우연히 헌책을 구입하게 되어 읽게 된 책이었다. 
좀 더 어릴 적에 이 책을 봤더라면, 수학 전공을 심각하게 고려했을 것 같다.

기하학 이야기와는 별개이지만, 피타고라스 이야기가 매우 흥미롭게 다가온다.
특히, 피타고라스의 신비주의 컨셉이 그대로 그리스도교로 이어지는 모습은 재밌는 부분이다.

이 책의 표지에서도 밝히듯이, 5번의 기하학 혁명을 통하여 기하학의 역사를 이야기하고 있다.
수학과 기하학은 역사 속에서 자연공간을 기술하던 철학, 물리학과 서로 주거니 받거니 한다.

1. 유클리드 이야기
당신은 공간에 관해서 무엇을 말할 수 있는가?
기하학이 어떻게 우주를 기술하기 시작했고, 어떻게 현대문명을 예고했는가

주요 인물 : 탈레스 - 피타고라스 – 유클리드 - 에라토스테네스(알렉산드리아) – 히파티아

이집트인과 바빌로니아인들이 토지라는 공간을 측정하면서 geometry라고 불리는 기하학이 시작된다.
그리스인들은 기하하의 대상을 토지공간에서 추상적 공간으로 옮긴다. 

그리스 기하학의 유산은 알렉산드리아로 이어지지만,
그 이후 로마까지는 이어지지 못하고 중세의 암흑시대까지 묻혀진다.
그리스와 로마... 도시국가와 제국의 차이를 기하학 분야에서도 극명하게 드러낸다.

2. 데카르트 이야기
당신은 공간 속에서 어디에 있는가?
수학자들이 어떻게 철학과 과학의 웅장한 진보를 가져온 그래프와 좌표의 원리를 발견했는가?

데카르트의 귀차니즘 때문에 Cartesian coordinate를 도입한다.
이로써, 추상적 공간을 그래프로 옮기어 좌표를 활용해서, 기하학을 대수학으로 풀어낼 수 있게 된다.

3. 가우스 이야기
평행선이 공간 안에서 서로 만날 수 있을까?
나폴레옹이 총애한 천재가 유클리드에게 몰락을 선사한다. 그리스인에 의해 시작된 이래, 기하학이 맞은 가장 큰 혁명

주요 인물 : 가우스 – 리만 – 힐베르트
가우스는 여행을 하면서 휘어진 공간을 발견하는데, 드디어 유클리드 공간의 허점을 찾은 것이다.

4. 아인슈타인 이야기
무엇이 공간을 휘어지게 하는가?
공간에 새로운 차원이 부가되고, 공간-시간은 20세기 속으로 폭발하여, 한 특허청 직원을 세기의 영웅으로 만든다.

주요인물 : 맥스웰 – 아인슈타인

시간은 공간을 구성하는 또 하나의 차원이며, 에너지와 물질이 시공간을 변화시킨다.
물리학적 통찰과 수학을 활용해서 우주를 발견하고 있다.

5. 위튼 이야기
21세기의 물리학에서는 공간의 성질이 자연의 힘을 결정한다.
물리학자들은 또다른 차원에 대해서 이야기한다. 보다 근본적인 의미에서는 공간과 시간이 아예 존재하지 않을지도 모른다는 이야기도 들려온다.

주요인물 : (하이젠베르크, 슈뢰딩거) - 슈바르츠 - 위튼

여기에서는 거꾸로 공간의 성질이 자연의 힘을 결정한다.
근본적으로 공간/시간이 아예 존재하지 않는다.
현재까지 증명되지는 않았지만, 아직까지는 string theory, 5가지 초끈이론에 이어 M-Theory이 대세인 듯 하다.
(저자와 위튼의 친분도 영향이 있는 것 같다.)

신기한 건 위튼은 필즈메달 수상자로 수학적 통찰을 물리학에 적용시키고 있다는 점이다. 
가우스와 위튼은 공간을 기술하기 위해 스스로 수학을 개발해 나갔다고 한다.

아인슈타인도 어릴 적에는 수학에 흥미를 많이 느꼈으나, 나중에는 물리학을 더 열심히 한 것 같다.
결국, 아인슈타인은, 상대성이론을 설명할 수학을 배우기 위해, 친구였던 수학자 그로스만에게 도움을 받았다.
그로스만에게 대학 때부터 도움을 받았다는 이야기들은 유명하다.

기하학은 그리스인들이 토지를 측량하는 도구에서, 추상적인 공간을 설명하는 도구로...
그리고, 다시 우주 전체를 근본적으로 설명하는 데까지 이어진다.
기하학 이야기는 이렇게 위튼의 M-Theory 에서 끝을 맺으며, 현재에도 진행중임을 알리고 있다.


페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리 - 10점
사이먼 싱 지음, 박병철 옮김/영림카디널


작성일자 : 2003.11.10. 19:55

yes24에도 올렸던 서평

"xⁿ+ yⁿ= zⁿ; n이 3이상의 정수일 때, 이 방정식을 만족하는 정수해 x, y, z는 존재하지 않는다.
  나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다. 그러나 이 책의 여백이 너무 좁아 여기 옮기지는 않겠다……"

17세기 프랑스의 아마추어 수학자 페르마가 남긴 마지막 정리에 관한 내용이다.

이 정리를 지난 몇 백년간 수학자들이 증명하려고 시도했지만 누구도 완전히 풀지를 못했다.
그래서 이런 패러디도 나왔다.

뉴욕 8번가 지하철 역에서 발견된 재치만점의 낙서 한 토막
"'xⁿ+ yⁿ= zⁿ; 이 방정식에는 정수해가 존재하지 않는다. 나는 경이적인 방법으로 이 정리를 증명했다.
  그러나 지금 내가 탈 기차가 오고 있기 때문에 여기 적을 만한 시간이 없다!”

그런데, 지난 1997년 영국의 수학자인 앤드류 와일즈가 증명을 하였다고 한다.
아이디어는 타원 방정식과 모듈형태의 통합...

내가 살아있는 동안, 페르마의 정리가 증명되다니... ㅡ.ㅡ;;
나와 동시대에도 위대한 발견은 항상 일어나고 있다.

이 책에 나오는 인상깊었던 수학자는...
페르마는 당연히 그 중 하나고...
프로를 뛰어넘는 아마추어 No.1
번뜩이는 그 통찰력...

페르마 이외에는 역시 오일러...
점점 어려운 상황속에서도 열정을 멈추지 않았던...
위대한 업적을 남기고 페르마 정리의 첫걸을을 디딘...
개인적으로 참 대단하다고 생각되는 사람이다...

또 한명을 뽑자면, 여류 수학자... 소피 제르맹...
뛰어난 실력을 가지고 있었으면서도...
그 당시 여성으로 태어나서 소심해질 수 밖에 없었던...
참 안타까운 일이라 생각된다...

지금도 어디선가 몰두하고 있을 수학자들과 그 밖의 학자들에게 박수를 보낸다... 짝짝짝...

ps. 페르마의 경이적인 방법은 어떤 것일까... 궁금하다..
영원히 밝혀지지 않을것인가... 어디선가 페르마의 숨겨진 노트라도 발견되었으면 좋겠는데... ㅡ.ㅡ^

페르마의 마지막 정리 관련 URL :
- 수학사랑 사이트 내의 자료
- 위키백과 in Daum 사전 자료


+ Recent posts